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O poder da progressão geométrica

Por: Caio Dalla Vechia em 15 Jun 2021

Você conhece o Chaturanga? É um jogo de tabuleiro, pai do xadrez, foi inventado na Índia por volta do século VI e assim como no xadrez moderno, o chaturanga é jogado em um tabuleiro que possui 8 colunas e 8 linhas de quadrados alternados em preto e branco.

Por trás da criação tem uma anedota contada por Malba Tahan no livro “O homem que calculava”. Essa curiosidade histórica remete a um sábio chamado Sessa que apresentava ao rei da Índia um novo jogo de tabuleiro, o chaturanga - e como não é possível conhecer o xadrez ou algo parecido sem adorá-lo - o rei se encantou com o joguinho. Então, o líder supremo em sua inocência ofertou ouro, fama e tudo o que em sua posição poderia oferecer àquele sábio. Humildemente Sessa quis apenas trigo, mais especificamente, grãos de trigo, mas havia apenas uma condição, ele queria um grão de trigo na primeira casa do tabuleiro e que as próximas casas tivessem o dobro da casa anterior. O rei que não era muito íntimo da matemática fez umas contas de cabeça e mandou trazer uma saca de trigo e pensou: - “Esse é o sábio menos sábio que já conheci...!”

Então os tesoureiros do Rei começaram a contar, 1 – 2 – 4 – 8 – 16 – 32 – 64 ... e logo perceberam na enrascada em que o rei havia se metido.

Mas afinal por quê? Você deve estar se perguntando. Venha calcular comigo: se cada casa contém o dobro de grãos da anterior e temos 64 casas isso significa que temos o número 2 multiplicado por 64 vezes! Assim temos um termo que é igual ao anterior multiplicado por uma constante, no caso do pobre Rei é o número 2.

Em formatação genérica a primeira casa do tabuleiro é o primeiro termo A1, o segundo termo é A2 que é o dobro de A1 logo A2 = A1× 2, o terceiro é A3 = A2× 2... isso repetido por 64 vezes e como a matemática adora facilitar, podemos escrever na seguinte notação, a1×qn-1  na qual a1 é o primeiro termo, q é a constante e n a quantidade de termos -1 (o primeiro).

Ao terminarem de calcular a soma das quantidades de grãos necessários os tesoureiros estavam perplexos. Somando todas as casas eles obtiveram a bagatela de 18.446.744.073.709.551.615, para falar em números cardinais vou arredondar para dezoito quintilhões ou então 1,85×1018 . Quem tem sensibilidade a glúten deve ficar longe do Sessa.

É claro que o sábio criador de jogos não cobrou o Rei e nem teria como. Mas lhe ensinou uma grande lição!

Para termos ideia da grandeza desse número, vamos exemplificar: se cada grão fosse perfeito e tivesse meio centímetro e esses grãos fossem postos em uma fila indiana teríamos 307.445 filas de ida e volta da Terra ao Sol que estão a uma distância de 150.000.000 de km um do outro!

A matemática é uma ferramenta poderosa que permite nos antecipar aos acontecimentos e prever alguns eventos. As progressões geométricas estão implícitas em nosso cotidiano elas estão nos juros compostos (aquele do cartão de crédito), nas propagações de doenças, crescimento populacional e é com base nessas e em outras variáveis, é claro, que podemos prever os picos de doenças, ações na bolsa de valores entre outros...

Para isso torne-se um Sábio Rei, ao menos, Rei da matemática.